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在正三棱锥P-ABC中,有一半球,其底面与正三棱锥的底面重合,

来源:学生作业帮 编辑:妖妖学习网作业帮 分类:数学作业 时间:2022/01/29 19:20:54
在正三棱锥P-ABC中,有一半球,其底面与正三棱锥的底面重合,
正三棱锥的三个侧面都和半球相切.如果半球的半径等于1,则当正三棱锥的体积最小时,正三棱锥的高等于
根据题意,画出图形如下,其中,立体图形只画出了半球的底面.设三棱锥的高 PO=x,底面△ABC的AB边上的高 CD=3OD=3y在纵切面图形可看出,Rt△PEO∽Rt△POD,则 PO/EO=PD/OD而 PD=√(PO²+OD²)即 x/1=√(x²+y²)/y整理得 x²y²=x²+y²所以 y²=x²/(x²-1);而三棱锥P-ABC的体积等于 (1/3)×底面△ABC的面积×高PO,即V=(1/3)×[(1/2)×AB×CD]×PO=(1/3)×[(1/2)×2√3y×3y]×x=√3y²x=√3x³/(x²-1)对体积函数求导,得V'=√3x²(x²-3)/(x²-1)²令V'=0,解得唯一正解 x=√3由该体积函数的几何意义可知 x=√3 为其体积最小值点,故三棱锥体积最小时(V(min)=9/2),高为√3.